5.B树
3.5 B 树
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请用中文回答：B-树历史
请用中文回答：100万的数据使用 avl 树来存储，树高是多少?
请用中文回答：100万的数据，如果存储到B-树(最小度数是500)，那么树高大约是多少?
请用中文回 答：B-树的特性有哪些？
概述
历史
B树（B-Tree）结构是一种高效存储和查询数据的方法，它的历史可以追溯到1970年代早期。B树的发明人Rudolf Bayer和Edward M. McCreight分别发表了一篇论文介绍了B树。这篇论文是1972年发表于《ACM Transactions on Database Systems》中的，题目为"Organization and Maintenance of Large Ordered Indexes"。
这篇论文提出了一种能够高效地维护大型有序索引的方法，这种方法的主要思想是将每个节点扩展成多个子节点，以减少查找所需的次数。B树结构非常适合应用于磁盘等大型存储器的高效操作，被广泛应用于关系数据库和文件系统中。
B树结构有很多变种和升级版，例如B+树，B*树和SB树等。这些变种和升级版本都基于B树的核心思想，通过调整B树的参数和结构，提高了B树在不同场景下的性能表现。
总的来说，B树结构是一个非常重要的数据结构，为高效存储和查询大量数据提供了可靠的方法。它的历史可以追溯到上个世纪70年代，而且在今天仍然被广泛应用于各种场景。
B 的含义
B-树的名称是由其发明者Rudolf Bayer提出的。Bayer和McCreight从未解释B代表什么，人们提出了许多可能的解释，比如Boeing、balanced、between、broad、bushy和Bayer等 。但McCreight表示，越是思考B-trees中的B代表什么，就越能更好地理解B-trees
特性
一棵 B-树具有以下性质
特性1：每个节点 x 具有
- 属性 n，表示节点 x 中 key 的个数
- 属性 leaf，表示节点是否是叶子节点
- 节点 key 可以有多个，以升序存储
特性2：每个非叶子节点中的孩子数是 n + 1、叶子节点没有孩子
特性3：最小度数t（节点的孩子数称为度）和节点中键数量的关系如下：
| 最小度数t | 键数量范围 |
|---|---|
| 2 | 1 ~ 3 |
| 3 | 2 ~ 5 |
| 4 | 3 ~ 7 |
| ... | ... |
| n | (n-1) ~ (2n-1) |
其中，当节点中键数量达到其最大值时，即 3、5、7 ... 2n-1，需要分裂
特性4：叶子节点的深度都相同
问：
B-树为什么有最小度数的限制？
答：
B树中有最小度数的限制是为了保证B树的平衡特性。
在B树中，每个节点都可以有多个子节点，这使得B树可以存储大量的键值，但也带来了一些问题。如果节点的子节点数量太少，那么就可能导致B树的高度过高，从而降低了B树的效率。此外，如果节点的子节点数量太多，那么就可能导致节点的搜索、插入和删除操作变得复杂和低效。
最小度数的限制通过限制节点的子节点数量，来平衡这些问题。在B树中，每个节点的子节点数量都必须在一定的范围内，即t到2t之间（其中t为最小度数）
B-树与 2-3 树、2-3-4 树的关系
可以这样总结它们之间的关系：
- 2-3树是最小度数为2的B树，其中每个节点可以包含2个或3个子节点。
- 2-3-4树是最小度数为2的B树的一种特殊情况，其中每个节点可以包含2个、3个或4个子节点。
- B树是一种更加一般化的平衡树，可以适应不同的应用场景，其节点可以包含任意数量的键值，节点的度数取决于最小度数t的设定。
实现
定义节点
static class Node {
boolean leaf = true;
int keyNumber;
int t;
int[] keys;
Node[] children;
public Node(int t) {
this.t = t;
this.keys = new int[2 * t - 1];
this.children = new Node[2 * t];
}
@Override
public String toString() {
return Arrays.toString(Arrays.copyOfRange(keys, 0, keyNumber));
}
}
- leaf 表示是否为叶子节点
- keyNumber 为 keys 中有效 key 数目
- t 为最小度数，它决定了节点中key 的最小、最大数目，分别是 t-1 和 2t-1
- keys 存储此节点的 key
- children 存储此节点的 child
- toString 只是为了方便调试和测试，非必须
实际 keys 应当改为 entries 以便同时保存 key 和 value，刚开始简化实现
多路查找
为上面节点类添加 get 方法
Node get(int key) {
int i = 0;
while (i < keyNumber && keys[i] < key) {
i++;
}
if (i < keyNumber && keys[i] == key) {
return this;
}
if (leaf) {
return null;
}
return children[i].get(key);
}
插入 key 和 child
为上面节点类添加 insertKey 和 insertChild 方法
void insertKey(int key, int index) {
System.arraycopy(keys, index, keys, index + 1, keyNumber - index);
keys[index] = key;
keyNumber++;
}
void insertChild(Node child, int index) {
System.arraycopy(children, index, children, index + 1, keyNumber - index);
children[index] = child;
}
作用是向 keys 数组或 children 数组指定 index 处插入新数据，注意
- 由于使用了静态数组，并且不会在新增或删除时改变它的大小，因 此需要额外的 keyNumber 来指定数组内有效 key 的数目
- 插入时 keyNumber++
- 删除时减少 keyNumber 的值即可
- children 不会单独维护数目，它比 keys 多一个
- 如果这两个方法同时调用，注意它们的先后顺序，insertChild 后调用，因为它计算复制元素个数时用到了 keyNumber
定义树
public class BTree {
final int t;
final int MIN_KEY_NUMBER;
final int MAX_KEY_NUMBER;
Node root;
public BTree() {
this(2);
}
public BTree(int t) {
this.t = t;
MIN_KEY_NUMBER = t - 1;
MAX_KEY_NUMBER = 2 * t - 1;
root = new Node(t);
}
}
插入
public void put(int key) {
doPut(null, 0, root, key);
}
private void doPut(Node parent, int index, Node node, int key) {
int i = 0;
while (i < node.keyNumber && node.keys[i] < key) {
i++;
}
if (i < node.keyNumber && node.keys[i] == key) {
return;
}
if (node.leaf) {
node.insertKey(key, i);
} else {
doPut(node, i, node.children[i], key);
}
if (isFull(node)) {
split(parent, index, node);
}
}
- 首先查找本节点中的插入位置 i，如果没有空位（key 被找到），应该走更新的逻辑，目前什么没做
- 接下来分两种情况
- 如果节点是叶子节点，可以直接插入了
- 如果节点是非叶子 节点，需要继续在 children[i] 处继续递归插入
- 无论哪种情况，插入完成后都可能超过节点 keys 数目限制，此时应当执行节点分裂
- 参数中的 parent 和 index 都是给分裂方法用的，代表当前节点父节点，和分裂节点是第几个孩子
判断依据为：
boolean isFull(Node node) {
return node.keyNumber == MAX_KEY_NUMBER;
}
分裂
void split(Node parent, int index , Node left) {
if (parent == null) {
Node newRoot = new Node(this.t);
newRoot.leaf = false;
newRoot.insertChild(root, 0);
root = newRoot;
parent = newRoot;
}
Node right = new Node(this.t);
right.leaf = left.leaf;
right.keyNumber = t - 1;
System.arraycopy(left.keys, t, right.keys, 0, t - 1);
if (!left.leaf) {
System.arraycopy(left.children, t, right.children, 0, t);
}
left.keyNumber = t - 1;
int mid = left.keys[t - 1];
parent.insertKey(mid, index);
parent.insertChild(right, index + 1);
}
分两种情况：
- 如果 parent == null 表示要分裂的是根节点，此时需要创建新根，原来的根节点作为新根的 0 孩子
- 否则
- 创建 right 节点（分裂后大于当前 left 节点的），把 t 以后的 key 和 child 都拷贝过去
- t-1 处的 key 插入到 parent 的 index 处，index 指 left 作为孩子时的索引
- right 节点作为 parent 的孩子插入到 index + 1 处
删除
case 1：当前节点是叶子节点，没找到
case 2：当前节点是叶子节点，找到了
case 3：当前节点是非叶子节点，没找到
case 4：当前节点是非叶子节点，找到了
case 5：删除后 key 数目 < 下限（不平衡）
case 6：根节点
完整代码
package com.itheima.algorithm.btree;
import java.util.Arrays;
/**
* <h3>B-树</h3>
*/
@SuppressWarnings("all")
public class BTree {
static class Node {
int[] keys; // 关键字
Node[] children; // 孩子
int keyNumber; // 有效关键字数目
boolean leaf = true; // 是否是叶子节点
int t; // 最小度数 (最小孩子数)
public Node(int t) { // t>=2
this.t = t;
this.children = new Node[2 * t];
this.keys = new int[2 * t - 1];
}
public Node(int[] keys) {
this.keys = keys;
}
@Override
public String toString() {
return Arrays.toString(Arrays.copyOfRange(keys, 0, keyNumber));
}
// 多路查找
Node get(int key) {
int i = 0;
while (i < keyNumber) {
if (keys[i] == key) {
return this;
}
if (keys[i] > key) {
break;
}
i++;
}
// 执行到此时 keys[i]>key 或 i==keyNumber
if (leaf) {
return null;
}
// 非叶子情况
return children[i].get(key);
}
// 向 keys 指定索引处插入 key
void insertKey(int key, int index) {
System.arraycopy(keys, index, keys, index + 1, keyNumber - index);
keys[index] = key;
keyNumber++;
}
// 向 children 指定索引处插入 child
void insertChild(Node child, int index) {
System.arraycopy(children, index, children, index + 1, keyNumber - index);
children[index] = child;
}
int removeKey(int index) {
int t = keys[index];
System.arraycopy(keys, index + 1, keys, index, --keyNumber - index);
return t;
}
int removeLeftmostKey() {
return removeKey(0);
}
int removeRightmostKey() {
return removeKey(keyNumber - 1);
}
Node removeChild(int index) {
Node t = children[index];
System.arraycopy(children, index + 1, children, index, keyNumber - index);
children[keyNumber] = null;
return t;
}
Node removeLeftmostChild() {
return removeChild(0);
}
Node removeRightmostChild() {
return removeChild(keyNumber);
}
void moveToLeft(Node left) {
int start = left.keyNumber;
if (!leaf) {
for (int i = 0; i <= keyNumber; i++) {
left.children[start + i] = children[i];
}
}
for (int i = 0; i < keyNumber; i++) {
left.keys[left.keyNumber++] = keys[i];
}
}
Node leftSibling(int index) {
return index > 0 ? children[index - 1] : null;
}
Node rightSibling(int index) {
return index == keyNumber ? null : children[index + 1];
}
}
Node root;
int t; // 树中节点最小度数
final int MIN_KEY_NUMBER; // 最小key数目
final int MAX_KEY_NUMBER; // 最大key数目
public BTree() {
this(2);
}
public BTree(int t) {
this.t = t;
root = new Node(t);
MAX_KEY_NUMBER = 2 * t - 1;
MIN_KEY_NUMBER = t - 1;
}
// 1. 是否存在
public boolean contains(int key) {
return root.get(key) != null;
}
// 2. 新增
public void put(int key) {
doPut(root, key, null, 0);
}
private void doPut(Node node, int key, Node parent, int index) {
int i = 0;
while (i < node.keyNumber) {
if (node.keys[i] == key) {
return; // 更新
}
if (node.keys[i] > key) {
break; // 找到了插入位置，即为此时的 i
}
i++;
}
if (node.leaf) {
node.insertKey(key, i);
} else {
doPut(node.children[i], key, node, i);
}
if (node.keyNumber == MAX_KEY_NUMBER) {
split(node, parent, index);
}
}
/**
* <h3>分裂方法</h3>
*
* @param left 要分裂的节点
* @param parent 分裂节点的父节点
* @param index 分裂节点是第几个孩子
*/
void split(Node left, Node parent, int index) {
// 分裂的是根节点
if (parent == null) {
Node newRoot = new Node(t);
newRoot.leaf = false;
newRoot.insertChild(left, 0);
this.root = newRoot;
parent = newRoot;
}
// 1. 创建 right 节点，把 left 中 t 之后的 key 和 child 移动过去
Node right = new Node(t);
right.leaf = left.leaf;
System.arraycopy(left.keys, t, right.keys, 0, t - 1);
// 分裂节点是非叶子的情况
if (!left.leaf) {
System.arraycopy(left.children, t, right.children, 0, t);
for (int i = t; i <= left.keyNumber; i++) {
left.children[i] = null;
}
}
right.keyNumber = t - 1;
left.keyNumber = t - 1;
// 2. 中间的 key （t-1 处）插入到父节点
int mid = left.keys[t - 1];
parent.insertKey(mid, index);
// 3. right 节点作为父节点的孩子
parent.insertChild(right, index + 1);
}
// 3. 删除
public void remove(int key) {
doRemove(root, key, null, 0);
}
private void doRemove(Node node, int key, Node parent, int index) {
int i = 0;
while (i < node.keyNumber) {
if (node.keys[i] >= key) {
break;
}
i++;
}
if (node.leaf) {
if (notFound(node, key, i)) { // case 1
return;
}
node.removeKey(i); // case 2
} else {
if (notFound(node, key, i)) { // case 3
doRemove(node.children[i], key, node, i);
} else { // case 4
Node s = node.children[i + 1];
while (!s.leaf) {
s = s.children[0];
}
int k = s.keys[0];
node.keys[i] = k;
doRemove(node.children[i + 1], k, node, i + 1);
}
}
if (node.keyNumber < MIN_KEY_NUMBER) { // case 5
balance(node, parent, index);
}
}
private boolean notFound(Node node, int key, int i) {
return i >= node.keyNumber || (i < node.keyNumber && node.keys[i] != key);
}
private void balance(Node node, Node parent, int i) {
if (node == root) {
if (root.keyNumber == 0 && root.children[0] != null) {
root = root.children[0];
}
return;
}
Node leftSibling = parent.leftSibling(i);
Node rightSibling = parent.rightSibling(i);
if (leftSibling != null && leftSibling.keyNumber > MIN_KEY_NUMBER) {
rightRotate(node, leftSibling, parent, i);
return;
}
if (rightSibling != null && rightSibling.keyNumber > MIN_KEY_NUMBER) {
leftRotate(node, rightSibling, parent, i);
return;
}
if (leftSibling != null) {
mergeToLeft(leftSibling, parent, i - 1);
} else {
mergeToLeft(node, parent, i);
}
}
private void mergeToLeft(Node left, Node parent, int i) {
Node right = parent.removeChild(i + 1);
left.insertKey(parent.removeKey(i), left.keyNumber);
right.moveToLeft(left);
}
private void rightRotate(Node node, Node leftSibling, Node parent, int i) {
node.insertKey(parent.keys[i - 1], 0);
if (!leftSibling.leaf) {
node.insertChild(leftSibling.removeRightmostChild(), 0);
}
parent.keys[i - 1] = leftSibling.removeRightmostKey();
}
private void leftRotate(Node node, Node rightSibling, Node parent, int i) {
node.insertKey(parent.keys[i], node.keyNumber);
if (!rightSibling.leaf) {
node.insertChild(rightSibling.removeLeftmostChild(), node.keyNumber + 1);
}
parent.keys[i] = rightSibling.removeLeftmostKey();
}
}